伪造对数比特币价格增长模型
既不是狗也不是道路-只是一个酒鬼。
简短评测
本文探讨了时间与比特币价格之间是否存在任何关系的问题。我们将检查建议 [здесь: 1, 2, 3] 最小二乘方法用于统计可靠性的双对数模型，以及使用Angle – Granger方法进行协整分析的与每个变量有关的平稳性和潜在的虚假依赖性。除一项测试外，所有测试结果都驳斥了时间可能是比特币价格的重要预测指标的假设。
引言
几位作者提出了模型对数价格〜对数时间（又称对数增长模型） [1, 2, 3] 解释过去比特币价格走势的很大一部分，从而预测未来价格。
对于大多数人来说，科学方法很难理解。他是违反直觉的。这可能导致得出的结论不会反映出个人的信念。为了理解这种方法，有必要理解并接受其基本思想：犯错误是正常的。
根据伟大的科学哲学家卡尔·波普尔（Karl Popper）的观点，检验其谬论的假设是增加论据为真的唯一可靠方法。如果严格的多重检验不能证明该假设是错误的，则每进行一次此类检验，其真实性的可能性就会增加。这个概念称为假设的可证伪性（或潜在的反证）。在本文中，我将尝试伪造比特币价格的对数增长模型，其形式如上述三个来源中所述：1、2、3。
注意事项：
- 对于所有分析，均使用Stata 14软件。
- 本文不包含财务建议。
问题定义
为了伪造一个假设，您首先需要确切地确定其组成：
零假设（H0）：比特币的价格是比特币存在天数的函数。
替代假设（H1）：比特币的价格不是比特币存在天数的函数。
上述来源的作者决定通过选择通常的最小二乘（OLS）回归来检验H0，以得出比特币价格的自然对数和比特币存在天数的自然对数。作者均未给出任何伴随诊断，也未给出两个变量对数转换的任何具体原因。该模型未考虑由于非平稳性，建立交互作用或其他失真因素而导致建立虚假依赖的可能性。
方法
在今天的文章中，我们将检查该模型，诊断正态回归，并确定对数变换是否必要或适当（或两者），并检查可能的失真因素（混杂因素），相互作用和模型对失真的敏感性。
我们正在研究的另一个问题是非平稳性问题。平稳性（时间不变性）是大多数统计模型的前提。这是指这样的想法：如果平均值（或方差）中没有相对于时间的趋势，那么它随时都将不存在。
除了平稳性分析之外，我们还在探索协整的可能性。
图例
传统上，统计参数的计算值由符号上方的“上限”表示。在这里我们将使用 [ ]，即计算值β= [β]。 2×2矩阵将表示为 [r1c1, r1c2 r2c1, r2c2] 等为了表示索引元素，我们将使用@符号-例如，对于向量X中的第10个位置，X通常与下标10一起使用。相反，我们将X写为10。
普通最小二乘法
正则最小二乘回归是一种在两个或多个变量之间寻找线性关系的方法。
首先，让我们将线性模型定义为某些函数X，该函数等于Y且存在一些误差。
Y =βX+ε
其中Y是因变量，X是自变量，ε是误差值，β是X的因数。OLS的任务是导出β的值，以使ε最小。
为了得出可靠的计算值 [β]，有必要遵守一些基本条件（称为高斯条件-马尔可夫定理）：
- 因变量和自变量之间存在线性关系
- 误差的同方差（即恒定色散）
- 误差分布的平均值通常为零
- 缺少错误的自相关（也就是说，它们与随时间变化的错误序列不相关）
线性度
我们首先查看价格与尚未转换为离散图（Coinmetrics数据）的天数之间的关系。
图1-价格与天数的比率。数据散布得太宽，无法从视觉上确定线性。
图1清楚地显示了采用价格对数的充分理由：值的范围太大。当取价格的对数（而不是天数）并重新绘制K线走势图时，我们得到一个熟悉的模式（图2）。
图2-价格的对数与天数的比率。有明显的对数模式。
取天数的对数并用它绘制一个K线走势图，我们得到了由图3的三个来源的作者（请参阅本文开头）确定的明显的线性模式。
图3-出现明显的线性关系。
这确认了对数对数的正确选择，这是导致良好可见的线性关系的唯一选择。
图4平方根转换比未转换的数据效果更好
因此，初步分析不会反驳H0。
双重对数回归的结果显示在下面的图5中，其中 [β] = 5.8。
图5-双对数回归的结果。
使用这个模型，我们现在可以确定残差 [ε] 和计算值 [Y]，并检查是否符合其他条件。
同方性
在方差的误差为常数（即同方差）的条件下，预测值的每个值的误差在零附近任意波动。因此，残值与估计值之间的关系图（图6）是一种简单但有效的方式，可以通过图形方式验证是否满足此条件。在图6中，我们看到了一个清晰定义的模式，而不是随机散射，这表明了误差大小方差的变化（即异方差）。
图图6（a）是残值与估计值之比的曲线图。模式的存在表示可能存在问题。
这种异方差性的结果是较大的离散度，因此，系数的计算值的准确性较低。 [β]。此外，由于OLS方法不会显示出增加的方差，因此p值的意义要大于其应有的意义。因此，为了计算t值和F值，我们使用了被低估的色散值，因此具有更高的重要性。这也会影响95％的置信区间 [β]，这也是方差的函数（通过标准误差）。
Broch-Godfrey自相关测试的结果也表明存在此问题。
图6（b）-残留物中的自相关
在此阶段，通常值得停止和完善模型。但是，鉴于我们知道这些问题的影响，因此继续进行回归了解这些问题的存在将是相对安全的。存在处理它们的方法（至少以最轻的形式）-例如，进行自举采样或可靠的色散估计。
图7-异方差性在各种评估中的影响。
如图7所示，尽管总体上方差略有增加（请参见扩展的置信区间），但实际上，当前的异方差并没有太大的有害影响。
正态分布
满足误差正态分布且平均值为零的条件并不像满足线性或同方差条件那样重要。如果残差不符合正态分布但不失真，则置信区间将过于乐观。如果残差失真，则最终结果可能失真。从图8和9可以看出，残留物高度失真。通过Shapiro-Wilk准则进行的正态性检验得出的p值等于0。它们没有充分对应于法线曲线，因此置信区间不受影响。
图8-误差的直方图，上面叠加了（绿色）正态分布曲线。该错误应该是正常的，但事实并非如此。
图图9是具有误差值的正常分位数的图。点距直线越近，法线拟合越好。
杠杆是一个概念，在该概念中，并非回归中的所有数据点都对系数的估计做出同等的贡献。某些具有高杠杆作用的点可以根据是否存在来显着改变系数。在图10中，可以清楚地看到有太多可疑点（高于平均余额且高于平均杠杆）。
图10-杠杆和残差平方。OLS摘要
基本诊断表明，除了线性以外，几乎所有高斯-马尔可夫条件都被违反。这是H0破产的有力证据。
平稳性
固定过程是一般顺序为0（例如I（0））的过程。非平稳过程是I（1）或更大。在这种情况下，积分的计算相当“穷人”，即时差的总和。 I（1）表示从序列中的每个值减去第一滞后时，将获得I（0）过程。众所周知，对非平稳时间序列的回归可能导致错误关系的识别。
下面的图12和图13显示，我们不能反驳扩展Dickey-Fuller检验（ADF）的零假设。 ADF检验的零假设是数据不稳定。这意味着我们不能说数据是固定的。
图11和12-高级Dickey-Fuller测试，用于价格对数和天数对数的单位根。
Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin检验（KPSS）是ADF检验的附加平稳性检验。 KPSS零假设是数据是固定的。如图13和14所示，我们可以反驳两个变量中大多数滞后的平稳性。
图13和14-针对平稳性的零假设进行KPSS检验
KPSS测试证明这两个系列无疑是不稳定的。通常，这是一个问题。如果序列至少相对于趋势不是平稳的，则OLS方法可以识别错误的依存关系。我们唯一能做的就是取每个变量的对数值与每日值之间的差，并重建最小二乘方。但是，由于这个问题在计量经济学界十分普遍，因此我们有了一个更为可靠的框架，称为协整。
协整
协整是一种处理一对（或多个）过程I（1）并确定它们之间及其与它之间是否存在关系的方法。为了说明协整关系，经常给出酒鬼和他的狗的简化示例。想象一下一个醉酒的男子回家，在皮带上walking狗。酒鬼在道路的整个宽度上以无法预测的方式摇摆。这只狗也相当混乱地移动着：他嗅着树木，树皮，用爪子挖东西-这样一只不安的小狗。但是，狗的活动范围将受到酒鬼所保持的牵引带长度的限制。也就是说，可以说，在酒鬼的路线上的任何时候，狗都将被狗拴住。 （当然，我们无法预测她每次都会从醉汉朝哪个方向前进，但是她会处于束缚状态。）这是一个非常简单的比喻：狗和它的主人一起移动。
将其与相关性进行比较：例如，一只流浪狗沿着酒鬼的狗沿着其路径的95％跟踪，然后以树皮跑开，而在后面经过的汽车后面流浪狗与醉汉路线之间的相关性非常强（字面值R²：95％），但是，就像醉汉的许多随机连接一样，这种关系完全没有意义-它不能用于预测醉汉的位置，因为对于某些人路径的一部分，基于这些数据的预测将是正确的，但对于某些部分而言，将是完全不准确的。
为了找到酒鬼的位置，我们首先需要了解在模型中应使用哪个滞后顺序规范。
图图15是延迟顺序的说明。用于确定的最小AIC值。
在这里，我们通过选择6级的最小AIC值来确定最适合研究的延迟顺序。
接下来，我们需要确定协整关系的存在。使用简单的Angle-Granger方法（[англ.] 请参阅原始文章末尾的资源），这相对容易做到。如果测试的负统计量超过临界值，则存在协整关系。
图16-测试的统计数据，并且不低于任何临界值。
图16中的结果没有理由说明在价格的对数和天数的对数之间存在协整方程。
局限性
在这项研究中，我们没有考虑任何扭曲因素（混杂因素）。鉴于以上证据，任何混杂因素都极不可能对我们的结论产生重大影响-我们可以反驳H0。可以说，天数的对数与比特币价格的对数之间没有联系。如果存在这种联系，就必须有一个协整关系。
结论
违反除一个高斯-马尔可夫条件之外的所有条件进行实际线性回归，再加上两个变量的不稳定，都提供了充分的证据来驳斥H0，因此，价格的对数与天数的对数之间没有真正的线性关系，并且这种依赖关系不能用来预测样本外的价格值。