收益递减还是递减？

最好通过使用对数刻度来查看比特币的价格历史记录，这就是所谓的半对数图，其中x轴表示时间并且是线性的，y轴表示比特币的价格，并以对数形式缩放。

使用对数标度可以让我们在一个图中观察比特币的全部价格历史记录。它还具有以下特性：y轴上的等距运动表示价格变化的百分比相同。例如，每比特币从1美元到10美元的价格变动在y尺度上所占的距离与从100美元到1000美元的价格变动所花费的距离相同。此属性非常有用，但并非总是能很好地理解。

为了更好地理解半对数图的属性，让我们看两个模型：

• 一种收益不减（随着时间的推移，预期增长率相等）
• 一种回报递减（增长率随着时间的推移而变小）

我将前一篇文章中描述的方程用于收益递减的模型，但出于本文的目的，也可以使用增长率降低的另一种模型。

收益递减的模型在半对数图中显示为一条直线，而收益递减的模型则显示为一条曲线，该曲线最初快速增长，然后缓慢增长。

我们应该选择哪种型号？两者之间的差异非常重要，因为两者预测未来的价格将大相径庭。

在上一篇文章中，选择收益率递减的模型主要是因为半对数图中的比特币价格曲线似乎正在放缓。同样，收益递减模型的回归误差为“良好”：它比收益递减模型低约5.3倍。因此，根据经验，收益递减的模型更适合于对数据进行建模。这已经告诉我们，比特币的长期增长已经减少了收益，但是在本文中，我们将进行一些观察，这些结论进一步证明了比特币的价格上涨面临越来越大的阻力这一结论。

长期预期收益

收益递减意味着比特币的增长正在放缓。不减少的回报意味着比特币的增长不会减慢，即预期的增长率会随着时间的推移保持不变。为了更好地理解两者之间的区别，让我们以虚构的投资者为视角。

收益不减的模型

让我们假设比特币的价格遵循非递减模型。投资者可以赚多少钱？答案取决于投资者在出售比特币之前持有比特币的时间（“等待期”）。暂存期越长，预期收益就越高。有趣的是，对于收益不减少的模型，投资者可以期望获得的利润与投资时间无关。

如下图所示。每条彩色线代表一个暂存期。线上每个点的x值代表投资者出售其比特币的时间。y值表示他从投资中获得的利润百分比。

间隔时间越长，表示该间隔时间的直线的起点就越晚。这是因为比特币的价格历史是有限的，并且我们假设不可能在2010年7月17日之前投资比特币。因此，不可能在2018年中之前持有比特币八年。上面的黄线开始于2018年中期。

我们可以在半对数图中显示相同的数据：

我们看到，根据这种模型，购买比特币并在3年后出售它们的投资者，无论何时购买比特币，都将获得大约2500％的利润。对于任何其他暂存期也是如此，但对于较长的暂存期，回报较高。

收益递减的模型

使用收益递减的模型，情况就不同了：预期收益取决于何时进行投资。下图中的线急剧下跌，这意味着在相同的闲置时期内，较早购买会获得更高的预期收益。

半对数图再次使数据更易于阅读：

投资者A在2011年中购买了比特币，并在三年后于2014年中将其出售，他们的获利约为10000％。

如果投资者B在2015年1月购买了比特币，并在三年后于2018年1月出售了它们，那么他“只能”赚取大约1000％的利润，比投资者A少10倍。

情况类似，但在更长的时期内更为明显。回报下跌10倍的速度更快。投资者A和B相隔三年半投资，回报率相差10倍。在为期8年的保值期内，大约一年之内，收益就会下跌10倍。

（注意：对于收益递减的模型，我使用了与上一篇文章相同的模型，但是在这里，对模型的确切选择并不是很重要，因为具体数字并不像原理本身那么有趣。）

实际收益

与收益递减的模型相比，收益递减的模型的期望收益曲线有很大不同。对于任何投资比特币的人来说，这种差异极为重要。这两种模型中的哪一种能更好地反映现实？

为了回答这个问题，我们将执行与以前相同的练习，但使用比特币的实际价格历史记录：

立即可以看到收益曲线急剧下跌，这与收益递减的模型一致。还立即值得注意的是，这些曲线比基于模型（即模拟）数据的曲线更嘈杂。嘈杂是由于比特币如此出名的疯狂价格波动。

在半对数K线走势图中，我们注意到3年期交易者在2017年以来的回报非常低。这是因为2017年左右的价格约为1000美元，与2014年前后的历来最高价相同。有人在那个历史高点买入并三年后卖出的人可能会蒙受少量损失。

现在让我们使用收益递减的模型将实际收益曲线与基于模型数据的收益曲线进行比较。停留期间的长度使用相同的颜色代码：

我们看到，实际收益曲线可以通过收益递减的模型进行充分建模，但是我们必须考虑到存在很多噪声。

我们还可以在更短的间隔时间内重复该实验，并看到类似但更嘈杂的模式。

上面的收益曲线向我们表明，最迟在2014年年底之前，比特币收益递减的本质应该已经变得显而易见。后来的数据证实了这一趋势。

关于长期趋势的结论

收益曲线从经验上看倾向于比特币价格模型，其收益随着时间的推移而减少。观察三年和四年的收益曲线，最晚在2014年底之前会观察到这种影响。更新的数据仅在证实这一结论。

收益递减的影响，再加上价格的波动，是：

• 随着时间的流逝，所有跨栏运动员的预期收益都会减少
• 长期闲散者的预期收益变得更接近短期闲散者。由于价格波动，这也意味着短期持有者有时可以获得比长期持有者更高的回报。

关于长期收益递减的结论已经在“ 比特币的自然的长期幂律增长渠道 ”中得出，但是我们在本文中以新颖的方式研究了这种影响，并且还发现这种影响本来可以最早在2014年甚至更早就可见。与上一篇文章的不同之处还在于，我们无需使用精确的模型即可得出类似的结论。因此，一般结论与模型的确切选择无关。

为什么价格增长越来越慢？

鉴于观察到比特币的价格增长呈现出递减的收益，我们能否提出一个合理的即席解释？

可能最简单的解释是，以百分比形式将比特币的价格提高一定数量需要越来越多的法定货币。举例说明：当比特币的价格为0.1美元时，将比特币的价格提高100％所需的资金相对较少。将比特币的价格从10000美元提高到20000美元需要更多的资金。

吸引越来越多的资本变得越来越困难，或者至少需要越来越多的时间。也许一个拥有少量资金的个人可以将价格从0.1美元提高到0.2美元，但是要使一个非常有钱的个人将价格从10000美元提高到20000美元就可以了。或者，更多的人可以将价格从10000美元提高到20000美元。

吸引越来越多的人投资比特币，或者找到一些特别富有的人，会花费越来越多的时间。

短期价格变动

以上关于长期增长率较低的解释是否也会对短期增长率产生影响？在“ 比特币的自然长期幂律增长渠道 ”中，这还没有被彻底考虑。然而，更高的比特币价格也将使短期内的价格变动更加困难。这意味着随着时间的流逝，短期价格波动应变得更加温和，从而导致总体波动性降低，并可能减慢牛市。

为了回答这个问题，让我们将比特币的价格历史分为三个部分，每个一半减半。

• 第一半减半之前的时间段（“一半减半时间1”），
• 在第一个减半之后和第二个减半之前的时间段（“减半时间段2”），以及
• 第二个减半后的时间段（“减半时间3”）。

我们观察到比特币牛市期间最强劲的价格波动。牛市之后的修正也有强劲的（向下）价格波动。乍一看，这些短期价格走势在后期似乎会变慢，这也导致牛市需要越来越长的时间来发展：

让我们考虑价格曲线的斜率。由于半对数图的性质，给定的斜率对应于给定的百分比价格变化。不用谈论百分比形式的价格变化，我们可以谈论原木价格的差异。两者是完全等效的。

在每个时期，让我们考虑一下特定时间范围（例如180天）内比特币价格走势的斜率。对于每个180天的时间范围，我们将查看该时间范围的开始时的对数价格与结束时的对数价格之间的差异。然后，我们计算这种差异落入特定范围的频率。结果是180天内比特币原木价格增长率的直方图。增长率等于价格历史记录的半对数图中的斜率。原木价格的负变化意味着价格一直在下跌。

可以将三个半周期的180天增长率的直方图显示在表格中：

（期间1对应于第一个减半之前的期间，期间2对应于两个减半之间的期间，期间3对应于第二个减半之后的期间）。

显而易见的是，较早的减半时期在正向和负向都具有更高的极端增长率。例如，第一个时期的180天增长率介于-1.01和-0.57之间，也介于1.08和2.18之间，而随后的一半则没有。第二个减半期间有24个实例，其180天增长率在0.97和1.08之间，而第三个减半则没有。

可以直观地显示相同的数据，以便于检查：

与表示其他两个时期的绿色和红色条形图相比，代表前一半的增长率的蓝色条形图分布得更广。条形图的垂直大小越大，表示该仓中的计数越高。最早的减半时间是最去中心化的，第二个减半时间最短，第三个减半的时间最少。

除了直方图，我们还可以考虑三个时期的180天增长率的统计数据。第一个数字以log10表示，而括号中的数字以百分比表示。

减半期1（在第一次减半之前）：

• 最大增长率：2.156613（14242％）
• 90％增长率：1.410404（2473％）
• 第十个百分点的增长率：-0.352216（-56％）
• 最低增长率：-0.996782（-90％）

将周期2减半（两个减半之间）：

• 最大增长率：1.079093（1100％）
• 90％的增长率：0.810624（547％）
• 第十个百分点的增长率：-0.225461（-40％）
• 最低增长率：-0.518089（-70％）

将周期3减半（第二个减半之后）：

• 最大增长率：0.862816（629％）
• 90％增长率：0.586342（286％）
• 第十个百分位数的增长率：-0.251239（-44％）
• 最低增长率：-0.465312（-66％）

在前半个180天的最高增长率期间，前半段为14242％，第二半段为1100％，第三半段为629％。在前半个180天的最大负增长率在前半段为90％，在下半段为70％，在下半段为66％，这表明向下波动（跨越180天）也随着时间的推移变得驯服。

当将180天的保留期更改为例如60天时，可以得出类似的观察结果：

在三个比特币减半期间中，几个原始时期的最大增长率有系统地下跌：

在大多数时期，平均增长率在三个减半时期也有所下跌。这仅反映了一个事实，即比特币的价格以越来越慢的速度增长。

尽管在三个半衰期中最小增长率的值也趋于下跌，但是这种影响不如最大增长率明显。

现在，让我们每半段绘制一个图。每个图都包含几个暂存期的统计数据。的百分位数统计称最小和最大之间的谎言，使得例如第90百分位可以被用作“减毒最大”，或第10的形态百分为“减毒分钟”的形式。第50个百分位数与中位数相同。

下图显示了前半段周期的统计信息：

下一个图显示了第二半期的统计数据。y轴仍使用相同的比例。几乎所有钢筋的长度都较短，这一事实意味着，大多数轧制期间的统计数据已被削弱。

统计从第二个减半减少到第三个减半：

这三幅图证实，在相对较短的投资期内，正增长速度在每个随后的减半期内都越来越小。负增长率在较小程度上也会随着时间的流逝而变小。

这些观察结果与我们的解释一致，即导致价格波动需要更多的资金，因此价格波动变得更为温和。我们应该期望这种趋势在将来继续下去。

上面计算的统计信息也可以图形方式表示。在下图中，我们显示了在该减半期间结束时每个减半期间的统计信息，并以给定时间的价格为基础。红色区域的垂直宽度表示最小增长率和最大增长率之间的差。红色区域的水平宽度为365天，因为这是我们考虑的最长的短期停留时间。较深的红色仅代表不同的百分位数。

这是另一个方便的表示形式，表明短期内的统计数据在连续的减半期间变得更加温和。

未来价格走势

我们有两种查看价格预测和模型的方法。评估是否：

• 长期的预测是现实的
• 短期预测是现实的。

让我们看一些潜在的情况。

个人做出的预测

似乎有人认为，比特币的价格会随着回报率的下跌而增长，从而导致一些价格预测与收益率递减的模型相比，与收益率递减的模型更加一致：

Tom Lee和Fran Strajnar，Tim Draper和BitcoinTina的预测来源。

由于这些预测与收益递减不符，并且我们从经验上观察到长期价格增长正在减少，因此任何这些预测实现都会令人惊讶。

循环重复

我们也可以问自己，历史是否有可能重演。例如，在下半段观察到的价格波动在下半段会重复吗？

为了使之成为可能，假设的价格变动至少应与在第三半期间观察到的统计数据一致。实际上，我们预计第四季度减半期间价格走势的统计数据将比第三季度所观察到的更为平稳。但是，我们没有观察到第四个有效期的任何统计信息，因此现在我们将使用第三个减半期的统计数据。

上图显示了在第三次减半之后的第一个减半周期的重复。我们看到，价格走势过于极端，超出了第三减半时期的观察范围。因此，我们应该考虑短期价格波动剧烈的情况。

重复第二个减半周期怎么办？得出相同的结论：短期价格波动似乎过大。

是否可以重复第三个减半周期？下图显示（显然）价格走势与在第三半期观察到的统计数据一致。

但是，短期价格变动统计数据在第四个减半期间应比在第三个减半期间更为温和，原因与第三个时期的统计相比第二个时期更温和。

我们将使用一种简单的方法来获得第四半期的外推统计数据，并将第三半期的价格变动与这些统计数据进行比较。外推法的工作原理如下。对于给定的统计量，它计算以下值的减少因子：1）第一半减半至第二半减半； 2）第二减半至第三半减半。然后，该平均因子用于将统计数据从第三个减半期间推断到第四个减半期间。

使用这种外推方法，第三半期的价格走势将过于极端。

假设直到第三个减半的价格增长为0，而在第四个减半的时期使用推断的统计数据，我们得出以下可能的价格变动。

股票到流量模型

planB提出的一种称为存量-流量模型（简称S2F）的模型使用其稀缺性对比特币的价格进行建模，定义为新创建的存量除以现有存量。该模型进行的价格预测预测下一个减半期间的价格在$100k范围内，随后每个减半期间的价格大约增加10倍：

资料来源：100万亿美元

在给定的时间段（此处为4年）中具有恒定增长因子（此处为10）的模型是收益不变的模型。因此，这种模型对未来的主张与我们在本文中对长期收益递减的观察相反，并且在本文中表达了对收益递减趋势应继续的期望。

在短期内，我们不应该期望价格像青色线所示那样逐步变化（S2F模型也不主张价格应该以这种突然的方式变化）。作为实验，让我们考虑以下更平滑的假设未来价格曲线：

查看这种价格曲线将产生的收益曲线，我们看到在未来减半周期（4、5和6）开始时的收益趋于增加。由于价格波动，可能会产生增加的回报，但是不应期望系统地发生。我们还看到，例如三年和四年的保值期回报率大致持平，为1000％，反映了S2F模型所预测的减半期之间的价格增长10倍。

将模型生成的收益曲线与收益递减重叠可以更清楚地显示这些分歧：

• S2F模型的收益曲线部分上涨，这在收益递减的模型中是不期望的
• S2F模型的收益曲线在较短的保值期间内大多是平坦的，这表明收益没有减少，而在本文中，我们观察到了历史上收益的减少。

这并不是说S2F模型不正确，但这确实表明要使S2F模型保持当前的公式化，与目前的行为方式相比，返回曲线需要改变：它们需要从递减曲线过渡到不减少。

同样，说S2F模型的收益不减是不正确的：在早期的历史中，由S2F模型建模的收益确实在减少。不过，回报率只会降低到一定程度（每4年大约10倍的回报率）。

未来依然光明

尽管收益递减导致的预测不如基于非递减收益的预测乐观，但比特币在未来很多年仍可以保持非常强劲的增长，并继续超越大多数传统资产。

讨论区

本文未说明的内容

本文没有进行数值预测。没有关于长期价格增长率下跌的预测。另外，还没有关于预期未来将减少多少波动的预测。关于两者是否都趋向于0尚未作出任何陈述。

潜在的反议

比特币的价格上涨在不同时期被描述为：

• 不变，
• 加速，或
• 类似于S曲线。

我们没有上述任何经验证据。比特币的价格增长从一开始就在减少。

为什么这个财产不再持有？有人可能会辩称，过去的表现并不代表未来的表现，因此，到目前为止，比特币的回报一直在减少，这一事实并不意味着未来比特币会继续减少。换句话说：比特币的回报在未来可能不会减少。作为反对该陈述的论点，我们可以说：

• 到目前为止，我们还没有迹象表明比特币的回报率开始下跌。
• 为了抵消这一事实，即吸引越来越多的资本变得越来越困难这一事实，需要采取一种新的机制（至今尚未为人所知）。

增长放缓的原因

我们已经说过，比特币价格上涨导致更多价格上涨需要更多资金。我们在解释中采用了一条捷径：重要的不仅在于价格，还在于交易的比特币数量。如果交易很少的比特币（在其他条件相同的情况下），则比交易很多比特币的价格更容易改变价格。因此，可以说订单的深度（按法定金额）确实很重要，而不是价格本身。到目前为止，订单深度随着价格的上涨而增加。

下面是观察收益递减的另一种方法。比特币的价格取决于其他任何东西的供求关系。货源是由交易者愿意以给定的价格放弃比特币来驱动的。最初的投资者不愿放弃他们的比特币以获得比非常高的回报以外的任何东西。这些最初的高额回报吸引了更多的投资者，其中一些人愿意放弃自己的比特币以获得更低的回报（“足够好”的回报）。

从数学上讲，比特币的价格上涨并未显示出记忆力不足。无记忆的增长意味着价格增长不取决于其价格，这意味着增长不会减少。无记忆/不减缓的增长将是非常令人惊讶的，因为这意味着比特币的价格完全不会影响其预期增长率。因此，我们不应指望比特币价格增长的回报不会减少，也不能凭经验观察到。

尚不清楚更高的价格/更深的订单簿是否是短期内降低价格波动的唯一因素。降低波动性的另一个原因可能只是时间本身：随着时间的流逝，交易者发现越来越多的可利用利润模式。利用这些模式可以降低波动性。另一个原因可能是比特币交易者的数量。交易商尝试利用模式的次数越多，预期价格将越稳定。

结论

比特币的价格在向上移动时面临越来越大的阻力，导致收益递减。长期来看，价格上涨的速度越来越慢。短期来看，波动性有所降低，牛市需要更长的时间才能发展和流行。这些观察结果符合逻辑，即随着比特币价格上涨，价格变动需要更多的资金。因此，预期这两种趋势将在未来继续。如果这些趋势持续到未来，它将使基于收益不变的预期的预测和模型无效，这将被证明过于乐观。

免责声明：本文不是财务建议。