收益遞減還是遞減？

最好通過使用對數刻度來查看比特幣的價格歷史記錄，這就是所謂的半對數圖，其中x軸表示時間並且是線性的，y軸表示比特幣的價格，並以對數形式縮放。

使用對數標度可以讓我們在一個圖中觀察比特幣的全部價格歷史記錄。它還具有以下特性：y軸上的等距運動表示價格變化的百分比相同。例如，每比特幣從1美元到10美元的價格變動在y尺度上所佔的距離與從100美元到1000美元的價格變動所花費的距離相同。此屬性非常有用，但並非總是能很好地理解。

為了更好地理解半對數圖的屬性，讓我們看兩個模型：

• 一種收益不減（隨著時間的推移，預期增長率相等）
• 一種回報遞減（增長率隨著時間的推移而變小）

我將前一篇文章中描述的方程用於收益遞減的模型，但出於本文的目的，也可以使用增長率降低的另一種模型。

收益遞減的模型在半對數圖中顯示為一條直線，而收益遞減的模型則顯示為一條曲線，該曲線最初快速增長，然後緩慢增長。

我們應該選擇哪種型號？兩者之間的差異非常重要，因為兩者預測未來的價格將大相徑庭。

在上一篇文章中，選擇收益率遞減的模型主要是因為半對數圖中的比特幣價格曲線似乎正在放緩。同樣，收益遞減模型的回歸誤差為「良好」：它比收益遞減模型低約5.3倍。因此，根據經驗，收益遞減的模型更適合於對數據進行建模。這已經告訴我們，比特幣的長期增長已經減少了收益，但是在本文中，我們將進行一些觀察，這些結論進一步證明了比特幣的價格上漲面臨越來越大的阻力這一結論。

長期預期收益

收益遞減意味著比特幣的增長正在放緩。不減少的回報意味著比特幣的增長不會減慢，即預期的增長率會隨著時間的推移保持不變。為了更好地理解兩者之間的區別，讓我們以虛構的投資者為視角。

收益不減的模型

讓我們假設比特幣的價格遵循非遞減模型。投資者可以賺多少錢？答案取決於投資者在出售比特幣之前持有比特幣的時間（「等待期」）。暫存期越長，預期收益就越高。有趣的是，對於收益不減少的模型，投資者可以期望獲得的利潤與投資時間無關。

如下圖所示。每條彩色線代表一個暫存期。線上每個點的x值代表投資者出售其比特幣的時間。y值表示他從投資中獲得的利潤百分比。

間隔時間越長，表示該間隔時間的直線的起點就越晚。這是因為比特幣的價格歷史是有限的，並且我們假設不可能在2010年7月17日之前投資比特幣。因此，不可能在2018年中之前持有比特幣八年。上面的黃線開始於2018年中期。

我們可以在半對數圖中顯示相同的數據：

我們看到，根據這種模型，購買比特幣並在3年後出售它們的投資者，無論何時購買比特幣，都將獲得大約2500％的利潤。對於任何其他暫存期也是如此，但對於較長的暫存期，回報較高。

收益遞減的模型

使用收益遞減的模型，情況就不同了：預期收益取決於何時進行投資。下圖中的線急劇下跌，這意味著在相同的閑置時期內，較早購買會獲得更高的預期收益。

半對數圖再次使數據更易於閱讀：

投資者A在2011年中購買了比特幣，並在三年後於2014年中將其出售，他們的獲利約為10000％。

如果投資者B在2015年1月購買了比特幣，並在三年後於2018年1月出售了它們，那麼他「只能」賺取大約1000％的利潤，比投資者A少10倍。

情況類似，但在更長的時期內更為明顯。回報下跌10倍的速度更快。投資者A和B相隔三年半投資，回報率相差10倍。在為期8年的保值期內，大約一年之內，收益就會下跌10倍。

（注意：對於收益遞減的模型，我使用了與上一篇文章相同的模型，但是在這裡，對模型的確切選擇並不是很重要，因為具體數字並不像原理本身那麼有趣。）

實際收益

與收益遞減的模型相比，收益遞減的模型的期望收益曲線有很大不同。對於任何投資比特幣的人來說，這種差異極為重要。這兩種模型中的哪一種能更好地反映現實？

為了回答這個問題，我們將執行與以前相同的練習，但使用比特幣的實際價格歷史記錄：

立即可以看到收益曲線急劇下跌，這與收益遞減的模型一致。還立即值得注意的是，這些曲線比基於模型（即模擬）數據的曲線更嘈雜。嘈雜是由於比特幣如此出名的瘋狂價格波動。

在半對數K線走勢圖中，我們注意到3年期交易者在2017年以來的回報非常低。這是因為2017年左右的價格約為1000美元，與2014年前後的歷來最高價相同。有人在那個歷史高點買入並三年後賣出的人可能會蒙受少量損失。

現在讓我們使用收益遞減的模型將實際收益曲線與基於模型數據的收益曲線進行比較。停留期間的長度使用相同的顏色代碼：

我們看到，實際收益曲線可以通過收益遞減的模型進行充分建模，但是我們必須考慮到存在很多雜訊。

我們還可以在更短的間隔時間內重複該實驗，並看到類似但更嘈雜的模式。

上面的收益曲線向我們表明，最遲在2014年年底之前，比特幣收益遞減的本質應該已經變得顯而易見。後來的數據證實了這一趨勢。

關於長期趨勢的結論

收益曲線從經驗上看傾向於比特幣價格模型，其收益隨著時間的推移而減少。觀察三年和四年的收益曲線，最晚在2014年底之前會觀察到這種影響。更新的數據僅在證實這一結論。

收益遞減的影響，再加上價格的波動，是：

• 隨著時間的流逝，所有跨欄運動員的預期收益都會減少
• 長期閑散者的預期收益變得更接近短期閑散者。由於價格波動，這也意味著短期持有者有時可以獲得比長期持有者更高的回報。

關於長期收益遞減的結論已經在「 比特幣的自然的長期冪律增長渠道 」中得出，但是我們在本文中以新穎的方式研究了這種影響，並且還發現這種影響本來可以最早在2014年甚至更早就可見。與上一篇文章的不同之處還在於，我們無需使用精確的模型即可得出類似的結論。因此，一般結論與模型的確切選擇無關。

為什麼價格增長越來越慢？

鑒於觀察到比特幣的價格增長呈現出遞減的收益，我們能否提出一個合理的即席解釋？

可能最簡單的解釋是，以百分比形式將比特幣的價格提高一定數量需要越來越多的法定貨幣。舉例說明：當比特幣的價格為0.1美元時，將比特幣的價格提高100％所需的資金相對較少。將比特幣的價格從10000美元提高到20000美元需要更多的資金。

吸引越來越多的資本變得越來越困難，或者至少需要越來越多的時間。也許一個擁有少量資金的個人可以將價格從0.1美元提高到0.2美元，但是要使一個非常有錢的個人將價格從10000美元提高到20000美元就可以了。或者，更多的人可以將價格從10000美元提高到20000美元。

吸引越來越多的人投資比特幣，或者找到一些特別富有的人，會花費越來越多的時間。

短期價格變動

以上關於長期增長率較低的解釋是否也會對短期增長率產生影響？在「 比特幣的自然長期冪律增長渠道 」中，這還沒有被徹底考慮。然而，更高的比特幣價格也將使短期內的價格變動更加困難。這意味著隨著時間的流逝，短期價格波動應變得更加溫和，從而導致總體波動性降低，並可能減慢牛市。

為了回答這個問題，讓我們將比特幣的價格歷史分為三個部分，每個一半減半。

• 第一半減半之前的時間段（「一半減半時間1」），
• 在第一個減半之後和第二個減半之前的時間段（「減半時間段2」），以及
• 第二個減半後的時間段（「減半時間3」）。

我們觀察到比特幣牛市期間最強勁的價格波動。牛市之後的修正也有強勁的（向下）價格波動。乍一看，這些短期價格走勢在後期似乎會變慢，這也導致牛市需要越來越長的時間來發展：

讓我們考慮價格曲線的斜率。由於半對數圖的性質，給定的斜率對應於給定的百分比價格變化。不用談論百分比形式的價格變化，我們可以談論原木價格的差異。兩者是完全等效的。

在每個時期，讓我們考慮一下特定時間範圍（例如180天）內比特幣價格走勢的斜率。對於每個180天的時間範圍，我們將查看該時間範圍的開始時的對數價格與結束時的對數價格之間的差異。然後，我們計算這種差異落入特定範圍的頻率。結果是180天內比特幣原木價格增長率的直方圖。增長率等於價格歷史記錄的半對數圖中的斜率。原木價格的負變化意味著價格一直在下跌。

可以將三個半周期的180天增長率的直方圖顯示在表格中：

（期間1對應於第一個減半之前的期間，期間2對應於兩個減半之間的期間，期間3對應於第二個減半之後的期間）。

顯而易見的是，較早的減半時期在正向和負向都具有更高的極端增長率。例如，第一個時期的180天增長率介於-1.01和-0.57之間，也介於1.08和2.18之間，而隨後的一半則沒有。第二個減半期間有24個實例，其180天增長率在0.97和1.08之間，而第三個減半則沒有。

可以直觀地顯示相同的數據，以便於檢查：

與表示其他兩個時期的綠色和紅色條形圖相比，代表前一半的增長率的藍色條形圖分布得更廣。條形圖的垂直大小越大，表示該倉中的計數越高。最早的減半時間是最去中心化的，第二個減半時間最短，第三個減半的時間最少。

除了直方圖，我們還可以考慮三個時期的180天增長率的統計數據。第一個數字以log10表示，而括弧中的數字以百分比表示。

減半期1（在第一次減半之前）：

• 最大增長率：2.156613（14242％）
• 90％增長率：1.410404（2473％）
• 第十個百分點的增長率：-0.352216（-56％）
• 最低增長率：-0.996782（-90％）

將周期2減半（兩個減半之間）：

• 最大增長率：1.079093（1100％）
• 90％的增長率：0.810624（547％）
• 第十個百分點的增長率：-0.225461（-40％）
• 最低增長率：-0.518089（-70％）

將周期3減半（第二個減半之後）：

• 最大增長率：0.862816（629％）
• 90％增長率：0.586342（286％）
• 第十個百分位數的增長率：-0.251239（-44％）
• 最低增長率：-0.465312（-66％）

在前半個180天的最高增長率期間，前半段為14242％，第二半段為1100％，第三半段為629％。在前半個180天的最大負增長率在前半段為90％，在下半段為70％，在下半段為66％，這表明向下波動（跨越180天）也隨著時間的推移變得馴服。

當將180天的保留期更改為例如60天時，可以得出類似的觀察結果：

在三個比特幣減半期間中，幾個原始時期的最大增長率有系統地下跌：

在大多數時期，平均增長率在三個減半時期也有所下跌。這僅反映了一個事實，即比特幣的價格以越來越慢的速度增長。

儘管在三個半衰期中最小增長率的值也趨於下跌，但是這種影響不如最大增長率明顯。

現在，讓我們每半段繪製一個圖。每個圖都包含幾個暫存期的統計數據。的百分位數統計稱最小和最大之間的謊言，使得例如第90百分位可以被用作「減毒最大」，或第10的形態百分為「減毒分鐘」的形式。第50個百分位數與中位數相同。

下圖顯示了前半段周期的統計信息：

下一個圖顯示了第二半期的統計數據。y軸仍使用相同的比例。幾乎所有鋼筋的長度都較短，這一事實意味著，大多數軋制期間的統計數據已被削弱。

統計從第二個減半減少到第三個減半：

這三幅圖證實，在相對較短的投資期內，正增長速度在每個隨後的減半期內都越來越小。負增長率在較小程度上也會隨著時間的流逝而變小。

這些觀察結果與我們的解釋一致，即導致價格波動需要更多的資金，因此價格波動變得更為溫和。我們應該期望這種趨勢在將來繼續下去。

上面計算的統計信息也可以圖形方式表示。在下圖中，我們顯示了在該減半期間結束時每個減半期間的統計信息，並以給定時間的價格為基礎。紅色區域的垂直寬度表示最小增長率和最大增長率之間的差。紅色區域的水平寬度為365天，因為這是我們考慮的最長的短期停留時間。較深的紅色僅代表不同的百分位數。

這是另一個方便的表示形式，表明短期內的統計數據在連續的減半期間變得更加溫和。

未來價格走勢

我們有兩種查看價格預測和模型的方法。評估是否：

• 長期的預測是現實的
• 短期預測是現實的。

讓我們看一些潛在的情況。

個人做出的預測

似乎有人認為，比特幣的價格會隨著回報率的下跌而增長，從而導致一些價格預測與收益率遞減的模型相比，與收益率遞減的模型更加一致：

Tom Lee和Fran Strajnar，Tim Draper和BitcoinTina的預測來源。

由於這些預測與收益遞減不符，並且我們從經驗上觀察到長期價格增長正在減少，因此任何這些預測實現都會令人驚訝。

循環重複

我們也可以問自己，歷史是否有可能重演。例如，在下半段觀察到的價格波動在下半段會重複嗎？

為了使之成為可能，假設的價格變動至少應與在第三半期間觀察到的統計數據一致。實際上，我們預計第四季度減半期間價格走勢的統計數據將比第三季度所觀察到的更為平穩。但是，我們沒有觀察到第四個有效期的任何統計信息，因此現在我們將使用第三個減半期的統計數據。

上圖顯示了在第三次減半之後的第一個減半周期的重複。我們看到，價格走勢過於極端，超出了第三減半時期的觀察範圍。因此，我們應該考慮短期價格波動劇烈的情況。

重複第二個減半周期怎麼辦？得出相同的結論：短期價格波動似乎過大。

是否可以重複第三個減半周期？下圖顯示（顯然）價格走勢與在第三半期觀察到的統計數據一致。

但是，短期價格變動統計數據在第四個減半期間應比在第三個減半期間更為溫和，原因與第三個時期的統計相比第二個時期更溫和。

我們將使用一種簡單的方法來獲得第四半期的外推統計數據，並將第三半期的價格變動與這些統計數據進行比較。外推法的工作原理如下。對於給定的統計量，它計算以下值的減少因子：1）第一半減半至第二半減半； 2）第二減半至第三半減半。然後，該平均因子用於將統計數據從第三個減半期間推斷到第四個減半期間。

使用這種外推方法，第三半期的價格走勢將過於極端。

假設直到第三個減半的價格增長為0，而在第四個減半的時期使用推斷的統計數據，我們得出以下可能的價格變動。

股票到流量模型

planB提出的一種稱為存量-流量模型（簡稱S2F）的模型使用其稀缺性對比特幣的價格進行建模，定義為新創建的存量除以現有存量。該模型進行的價格預測預測下一個減半期間的價格在$100k範圍內，隨後每個減半期間的價格大約增加10倍：

資料來源：100萬億美元

在給定的時間段（此處為4年）中具有恆定增長因子（此處為10）的模型是收益不變的模型。因此，這種模型對未來的主張與我們在本文中對長期收益遞減的觀察相反，並且在本文中表達了對收益遞減趨勢應繼續的期望。

在短期內，我們不應該期望價格像青色線所示那樣逐步變化（S2F模型也不主張價格應該以這種突然的方式變化）。作為實驗，讓我們考慮以下更平滑的假設未來價格曲線：

查看這種價格曲線將產生的收益曲線，我們看到在未來減半周期（4、5和6）開始時的收益趨於增加。由於價格波動，可能會產生增加的回報，但是不應期望系統地發生。我們還看到，例如三年和四年的保值期回報率大致持平，為1000％，反映了S2F模型所預測的減半期之間的價格增長10倍。

將模型生成的收益曲線與收益遞減重疊可以更清楚地顯示這些分歧：

• S2F模型的收益曲線部分上漲，這在收益遞減的模型中是不期望的
• S2F模型的收益曲線在較短的保值期間內大多是平坦的，這表明收益沒有減少，而在本文中，我們觀察到了歷史上收益的減少。

這並不是說S2F模型不正確，但這確實表明要使S2F模型保持當前的公式化，與目前的行為方式相比，返回曲線需要改變：它們需要從遞減曲線過渡到不減少。

同樣，說S2F模型的收益不減是不正確的：在早期的歷史中，由S2F模型建模的收益確實在減少。不過，回報率只會降低到一定程度（每4年大約10倍的回報率）。

未來依然光明

儘管收益遞減導致的預測不如基於非遞減收益的預測樂觀，但比特幣在未來很多年仍可以保持非常強勁的增長，並繼續超越大多數傳統資產。

討論區

本文未說明的內容

本文沒有進行數值預測。沒有關於長期價格增長率下跌的預測。另外，還沒有關於預期未來將減少多少波動的預測。關於兩者是否都趨向於0尚未作出任何陳述。

潛在的反議

比特幣的價格上漲在不同時期被描述為：

• 不變，
• 加速，或
• 類似於S曲線。

我們沒有上述任何經驗證據。比特幣的價格增長從一開始就在減少。

為什麼這個財產不再持有？有人可能會辯稱，過去的表現並不代表未來的表現，因此，到目前為止，比特幣的回報一直在減少，這一事實並不意味著未來比特幣會繼續減少。換句話說：比特幣的回報在未來可能不會減少。作為反對該陳述的論點，我們可以說：

• 到目前為止，我們還沒有跡象表明比特幣的回報率開始下跌。
• 為了抵消這一事實，即吸引越來越多的資本變得越來越困難這一事實，需要採取一種新的機制（至今尚未為人所知）。

增長放緩的原因

我們已經說過，比特幣價格上漲導致更多價格上漲需要更多資金。我們在解釋中採用了一條捷徑：重要的不僅在於價格，還在於交易的比特幣數量。如果交易很少的比特幣（在其他條件相同的情況下），則比交易很多比特幣的價格更容易改變價格。因此，可以說訂單的深度（按法定金額）確實很重要，而不是價格本身。到目前為止，訂單深度隨著價格的上漲而增加。

下面是觀察收益遞減的另一種方法。比特幣的價格取決於其他任何東西的供求關係。貨源是由交易者願意以給定的價格放棄比特幣來驅動的。最初的投資者不願放棄他們的比特幣以獲得比非常高的回報以外的任何東西。這些最初的高額回報吸引了更多的投資者，其中一些人願意放棄自己的比特幣以獲得更低的回報（「足夠好」的回報）。

從數學上講，比特幣的價格上漲並未顯示出記憶力不足。無記憶的增長意味著價格增長不取決於其價格，這意味著增長不會減少。無記憶/不減緩的增長將是非常令人驚訝的，因為這意味著比特幣的價格完全不會影響其預期增長率。因此，我們不應指望比特幣價格增長的回報不會減少，也不能憑經驗觀察到。

尚不清楚更高的價格/更深的訂單簿是否是短期內降低價格波動的唯一因素。降低波動性的另一個原因可能只是時間本身：隨著時間的流逝，交易者發現越來越多的可利用利潤模式。利用這些模式可以降低波動性。另一個原因可能是比特幣交易者的數量。交易商嘗試利用模式的次數越多，預期價格將越穩定。

結論

比特幣的價格在向上移動時面臨越來越大的阻力，導致收益遞減。長期來看，價格上漲的速度越來越慢。短期來看，波動性有所降低，牛市需要更長的時間才能發展和流行。這些觀察結果符合邏輯，即隨著比特幣價格上漲，價格變動需要更多的資金。因此，預期這兩種趨勢將在未來繼續。如果這些趨勢持續到未來，它將使基於收益不變的預期的預測和模型無效，這將被證明過於樂觀。

免責聲明：本文不是財務建議。