自动化做市商的历史——AMM 解密

在第一部分中，我们探讨了市场流动性和做市的概念。这里我们要介绍一下AMM（自动做市商）的概念。尽管人们可能认为 AMM 是与加密货币一起出现的，但它们的历史更为悠久。

AMM（自动做市商）简介

做市商是金融的重要支柱：没有做市商就没有流动性。随着20世纪计算机科学的发展，“传统”的人类做市商逐渐被数字化的做市商所取代。因此，我们谈论 AMM——自动化做市商。

这些做市算法具有以下目标：

• 通过为交易对双方（买方和卖方、供给和需求）提供融资，为市场带来流动性；
• 减轻资产价格的波动；
• 随着市场交易量的增加限制价差。

我们将研究 AMM 的历史，从 2000 年代初的婴儿期到最新的去中心化金融模型。

预测市场

AMM（自动做市商）首先在博弈论中得到广泛研究。更准确地说，它们首先用于预测市场的算法。

预测市场允许参与者对即将发生的事件的结果进行押注。因此，这些质押通过金融交易所和交易得以实现。

为了获得对事件结果概率的共同估计，反复采访个人是不够的。事实上，参与可能是非理性的。例如，调查就是这种情况。

在经济激励下，参与者往往会采取理性行为。这是因为比其他人拥有更好信息（有关事件发生）的参与者在提供诚实的估计方面具有经济利益。

预测市场基于信息聚合（市场参与者对事件未来的信念）和投注。交易者交易所合约，这些合约的价格表明了事件结果的概率。在 0 到 100% 之间，该概率代表一般估计。因此，它是众包的一种形式。由于理性和诚实行为的经济激励，它比调查更少偏见。

二元期权代表了预测市场的最简单形式。它们也被称为“全有或全无的选择”。该合约在到期时以 0 或 100% 的价格结算。因此，付款是固定金额，或者根本不支付，具体取决于相关事件的结果。

评分规则

为了计算预测市场中的合约价格，我们需要一个评分规则。从 20 世纪末开始，评分规则就被用来获得概率估计，例如在气象学、经济预测甚至风险分析中。然而，这些模型，甚至是最复杂的模型，在趋向均衡价格方面都不能令人满意。

研究人员发现，投机市场（例如股票、商品或期货）在将信息总量转化为价格方面要高效得多。

博彩尤其如此，即使某些参与者出现非理性行为。将计分规则与投注市场相结合的想法就这样诞生了。根据经验将两者结合起来后，这似乎是获得可靠估计的最佳方法。

第一个 AMM 模型：LMSR 模型

第一个 AMM 模型基于 LMSR。该缩写代表模块化组合信息聚合的对数市场评分规则。它可以翻译为“组合和模块化信息聚合的对数市场符号规则”。经济学研究员兼教授罗宾·汉森于 2002 年 1 月提出。

市场评级规则

市场评分规则结合了投注中个人概率估计和群体估计的最佳值。对数模型保留给定事件结果的概率，独立于其他事件的投注。该模型专为预测市场而设计。它优化了信息聚合和概率启发。

如今许多加密货币预测市场都使用该模型的改进版本。还有其他市场模型，其中信息聚合至关重要，并且利润来自评估未来事件发生概率的能力。

“在实践中，评分规则可以从个人中产生良好的概率估计，而投注则可以从团体中产生良好的共识估计。 »

罗宾汉森

在传统的做市中，一些中心化的参与者（做市商）为市场的每一方提供流动性。他们根据活动调整价格。这是聚合信息的正确方法，但是，这些基本评分规则是一维的。对数规则允许对于更大的尺寸获得相同程度的精度。

基于 LMSR 的 AMM 可以拥有任意数量的算法代理和交互，而不会增加运营成本。

对数规则

LMSR 确定每个市场参与者的奖励函数。它鼓励他们理性行事。

• 设X为独立随机变量，具有有限结果空间Ω；
• 令 p 为随机变量 X 的概率估计值。

所以我们有：

奖励函数定义如下：

其中b> 0 是常数。当市场参与者将当前概率估计 p1 更改为 p2 时，如果事件的结果是 ω，他将获得 sω (p2) – sω (p1) 奖励。因此，参与者的预期收益为：

该模型激励参与者诚实地报告他们的概率估计，以实现利润最大化。 D(p2 || p1) 称为概率 p1 和 p2 之间的相对熵或 Kullback Leibler 距离。

因此，基于 LMSR 的市场可以被视为：

• 一系列对数评分规则，其中做市商向最后一个参与者付款，并从第一个参与者接收付款；
• 做市商提供|Ω|证券。每个证券对应一个事件的结果，如果发生则支付 1 美元。

将 ω ∈ Ω 的概率更改为值 p(ω) 相当于购买 ω 的证券，直到证券的市场价格达到 p(ω)。

LMSR模型和去中心化金融（DeFi）

可以将 LMSR 模型应用于去中心化金融，以获得在交易所上市的每个代币的成本函数。然而，正如我们将看到的，这并不理想，并且不能抵抗资金注入。

考虑一个提供 n 类代币的做市商。令 q = (q1, …, qn) 其中 qi 表示对应于类别 i 的标记数量。

成本函数为：

对于每个代币，价格函数如下：

因此，它与评分规则相反。

• 成本函数设定市场上质押的资产总量，其中C(q)是最大做市商补贴；
• 价格函数 Pi(q) 给出了购买无限小数量类别 i 代币的当前成本。

当交易者想要将资产份额的数量从 q1 更改为 q2 时，他必须支付成本差额 C(q1) – C(q2)。

Augur 和 Gnosis 是两个基于以太坊的预测市场平台，使用 LMSR 模型。它是针对这个特定用例而精心设计的。然而，LMSR 模型并不适合最广泛的 DeFi 应用：通过 AMM 交易所代币。

以下是 2 个代币和 3 个代币（i=2 和 i=3）的价格函数图。在2个token的情况下，函数是一条曲线；对于 3 个标记，它是一个 3 维超曲面。

摘自 Robin Hanson 的原始论文

第一张K线走势图示 3 个代币的价格函数 C (x, y, z) = 100。第二个是两个代币的价格函数 C(x, y) = 100。

勒钱上涨

我们可以看到，在每个代币的储备分布均匀的情况下，每个代币的价格仅在曲线的一小部分（右上角）略有波动。在此部分之外，切线变为垂直或水平。这意味着交易者可以使用少量的一种代币来购买流动性矿池中的所有剩余代币。

这就是我们所说的资金注入：这里我们有一个去中心化金融的例子。

因此，对于 DeFi 中的代币互换应用，LMSR 模型不可用。做市商将会遭受损失，而单一参数 b 控制着做市商行为的太多方面。这给我们带来了该模型的另一个版本：流动性敏感的 LMSR。

流动性敏感的 AMM – LS-LMSR

流动性敏感性意味着给定规模的交易对流动性市场上资产价格的影响小于流动性市场上的资产价格。

这是 AMM 价格函数所需的属性。 2010 年，Abraham Othman 和 Tuomas Sandholm 提出了 AMM 的流动性敏感模型。它能够根据活跃的市场兴趣（交易活动）水平调整价格反应。这是一个很大的进步，因为当市场上进行大量交易时，价格不会波动太大。相反，简单化的 AMM 是算法做市代理，他们总是提供相同的响应，而不用担心市场活动。

然而，市场评级规则很难转化为流动性敏感规则。无需过多讨论数学细节，以下是 LMSR 模型的工作原理。

LS-LMSR 将 LMSR 公式的常数 b 更改为以下总和：

其中 α 是常数。

成本函数必须始终在债券空间中进步。因此，具体而言，对于 q = (q1, …, qn)，成本函数为：

LMSR 的这种变体根据市场上发生的交易量有效地调整参数 b。

成本函数必须始终在空间上前进。具体来说，对于 q = (q1, …, qn) ，价格函数如下：

因此，LMSR 的这种变体根据市场上发生的交易数量有效地调整参数 b。

LS-LMSR 价格函数图

K线走势图取自 Robin Hanson 的原始论文

然而，我们的 AMM 还需要克服另一个障碍：这种对流动性敏感的做市商模型可能非常缓慢。当需要适应标的资产价值的大幅上涨时，就会出现这种情况。因此，当发生大量交易后资产价值突然发生变化时，该模型就会脱轨。

贝叶斯做市商

贝叶斯做市商 (BMM) 致力于预测结果为二元（0 或 1）的市场。 BMM 通过根据标的资产真实价值的不确定性水平调整利差来提供流动性。

在此类模型中，流动性提供者首先使用固定比率存入其资产。因此，他们确定了关于可能结果的信念的初始分布。然后，AMM算法提供评分规则。它指定将信念分布从当前状态修改为新的期望状态所需的成本。这种评分规则将鼓励交易者给出自己的真实感受，从而使分布调整的预期收益为正。

交易所（平台）的状态仅取决于存入的资产总量。

此外，设定交易所的价格需要独特的估值函数。对于更复杂的订单簿匹配算法来说，情况并非如此。

BMM 的使用

这些贝叶斯算法旨在预测一组不相交事件的结果，而不是定义资产的具体价格。因此，它们不能直接用于设定交易对的价格。同样，它们也无法为做市商提供足够的激励机制来吸引流动性。

因此，第一批 DeFi 的 AMM 使用了新模型。在这些系统中，定价函数根据可用总量来指定资产的价格，而不是通过指定更改给定分布（AMM 状态）的成本来指定。

所讨论的函数称为联合曲线。由此产生的均衡价格在一定条件下等于市场价格。然而，对于基于联合曲线的模型，我们需要能够改变资产的数量才能衡量其价格。

Bancor：以太坊上第一个 AMM

Bancor 协议代表了构建用于在以太坊上交易 ERC-20 代币的 AMM 的首次尝试。这种流动性获取机制基于智能代币的概念。

这些代币锁定并持有一种或多种 ERC-20 代币的储备。用户购买或出售它们以获得流动性储备。价格由特殊公式确定。

Eyal Hertzog、Guy Benartzi 和 Galia Benartzi 于 2017 年 5 月 30 日提出了这个概念。他们的白皮书题为“代币的连续流动性和异步价格发现”。这种用于 ERC-20 交易的简单做市模型引入了第一个在以太坊上交易代币的价格发现机制。

固定准备金率

价格发现方法基于恒定准备金率——恒定准备金率或CRR。该比率由智能代币的创建者定义。 Bancor 的公式通过结合智能代币的数量和准备金余额来利用这一点。

根据这个公式，储备代币与智能代币总资本之间的比率（数量 * 价格）保持不变。因此，储备代币的价格是通过市值除以数量（供应）来获得的。

• 当购买智能代币（带有ERC-20储备）时，相应数量的ERC-20将被添加到储备中。因此这增加了他的平衡。新的智能代币按照公式确定的价格给予买家。
• 当智能代币被出售时，它们就会被烧毁。与公式确定的价格相对应的 ERC-20 余额将转移给清算人。

当 CRR 低于 100% 时，购买智能代币会导致储备代币的价格上涨。相反，智能代币的清算会导致相应ERC-20的价格下跌。

理论上，该公式使得代币储备永远不会被清空，同时保持 CRR 恒定。然而，理论模型与其实际实施之间总是存在差异。

因此，智能代币的当前价格应该根据购买和清算量不断调整。这是一个异步价格发现模型：实际上，价格是在每次订单执行后计算的。

在此过程中，有效价格是根据交易规模计算的。

每笔交易价格

任何一个：

• A：储备代币余额；
• S：智能代币数量；
• F：恒定准备金率（CRR）。

因此，用 ERC-20 代币储备换取的智能代币数量为：

同样，用 T 数量的智能代币换取的 ERC-20 代币数量为：

Bancor 是第一个部署在以太坊上的 AMM。因此，该协议可以被视为去中心化金融的起点。然而，它也有局限性。

Bancor 协议的局限性

Bancor 协议的第一个版本有很多缺点。有些很容易发现：

• 多重代币暴露：流动性提供者必须贡献矿池中存在的每个 ERC-20 代币；
• 滑点：由于ERC-20储备与智能代币数量之间的比例是固定的，大额交易将显着影响代币当前价格与交易有效价格之间的差异；
• 无常损失：我们将更详细地讨论这个概念。我们这样总结一下：当存入储备的代币价格偏离其存入时的价格时，流动性提供者在想要收回其代币时将收到较低的余额。

还有其他设计缺陷很快就被利用了。该协议为通过 BNT 代币储备（智能代币）交易所的代币定义了一个动态锚。如果储备量较低，AMM 为新代币提供的价格也会非常低。即使没有交易者进行交易，也总是可以根据合约进行买卖。 AMM 确定的价格独立于相关代币的整体市场。因此，AMM 跟随市场，并不会使其趋于均衡。 Bancor 提供的价格与市场价格之间的差异越大，AMM 准备金与资产真实价值保持一致的成本就越高。如果市场出现恐慌性抛售，AMM 将耗尽其储备。

在 Bancor 的第 2 版和第 3 版中，这些缺点通过各种机制得到了缓解。所有这些实验（以及其中的错误）都使得去中心化金融生态系统能够改进其协议。

综上所述

您现在已经了解了 AMM 在加密货币和 DeFi 奇妙世界中的历史。在本系列的第三部分中，我们将详细探讨一个著名的 AMM 模型的规范，该模型彻底改变了去中心化金融：常数函数 AMM，以 Uniswap 为代表。

参考书目

• http://mason.gmu.edu/~rhanson/mktscore.pdf
• http://www.eecs.harvard.edu/cs286r/courses/fall12/papers/bmm-ec.pdf
• https://cryptorating.eu/whitepapers/Bancor/bancor_protocol_whitepaper_en.pdf
• https://www.cs.cmu.edu/~sandholm/liquidity-sensitive%20AMMs%20via%20ogenic%20risk%20measures.wine11.pdf
• https://www.cs.cmu.edu/~sandholm/liquidity-sensitive%20automated%20market%20maker.teac.pdf

文章《自动化做市商的历史 – AMM 解码》首先发表在 Journal du Coin 上。